TRIGONOMETRI

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Read More..

Pengertian Matriks

Pengertian Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang tersusun dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks merupakan suatu cara visualisasi variabel yang merupakan kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital ditebalkan (misal matriks A, dituliskan dengan A). Sebagai contoh matriks, perhatikan tabel yang memuat informasi biaya pengiriman barang dari 3 pabrik ke 4 kota berikut ini:

 

Pabrik	Kota
	Kota 1	Kota 2	Kota 3	Kota 4
Pabrik 1	5	2	1	4
Pabrik 2	2	3	6	5
Pabrik 3	7	6	3	2

Tabel di atas jika disajikan dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut:

	Kolom1	Kolom2	Kolom3	Kolom4
	5	2	1	4	Baris1
A =	2	3	6	5	Baris2
	7	6	3	2	Baris3

Matriks di atas, kita sebut saja matriks A, memiliki tiga baris yang mewakili informasi Pabrik (1, 2, dan 3) dan empat kolom yang mewakili informasi Kota (1, 2, 3, dan 4). Sedangkan informasi biaya pengiriman dari masing-masing pabrik ke tiap-tiap kota, diwakili oleh perpotongan baris dan kolom. Sebagai contoh, perpotongan baris 1 dan kolom 1 adalah 5, angka 5 ini menunjukkan informasi biaya pengiriman dari pabrik 1 ke kota 1, dst. Secara umum, bentuk matriks di atas dapat dituliskan seperti berikut:

	a11	a12	a13	a14
A =	a21	a22	a23	a24
	a31	a32	a33	a34

dimana, pada notasi elemen matriks, angka sebelah kiri adalah informasi baris sedangkan angka di kanan adalah informasi kolom, contoh a23 berarti nilai yang diberikan oleh baris ke-2 dan kolom ke-3.

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada. Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital  A , B , C ,. . . .  dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.

 Contoh :

Matriks  A  mempunyai  dua  baris  dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A  berordo  2 x 3 ditulis  A2x3 atau  ( a23 ) .Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.

Jenis-jenis Matrik  

Berdasarkan ordo Matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

• Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya  kolom yang terdapat dalam mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi berordo n.

          Contoh : 

• Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

          Contoh :    A =  ( 2  1  3  -7 )

• Matriks Kolom adalah  Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

          Contoh :   

                            

• Matriks Tegak  adalah  suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

          Contah :

• Matriks datar adalah Matriks  yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

       Contoh :

Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya matriks  dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

• Matriks Nol adalah Suatu matriks   yang setiap unsurnya 0 berordo  m x n, ditulis dengan huruf  O. 

        contoh :

• Matriks Diagonal adalah  suatu matriks bujur sangkar yang  semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

       Contah :  

• Matriks Segi Tiga adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

       Contoh : 

       Dimana Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

• Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

       Contoh :

• Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf  I.

       Contoh :

• Matriks Simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j  sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .

       Contoh : 

Read More..

Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadrat

BENTUK UMUM y = f(x) = ax2 + bx + c x variabel bebas; y variabel tak bebas; a,b,c konstanta ; a ¹ 0 NILAI EKSTRIM Bentuk y = ax² + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x+b/2a)² - D/4a Dapat disimpulkan : y ekstrim = -D/4a yang dicapai bila x = -b/2a Dapat disimpulkan : y = a(x - x ekstrim)² + y ekstrim Ket: : Fungsi kuadrat mempunyai nilai ekstrim, maksimum atau minimum          tergantung dari nilai a. Tanda dari a a Parabola Terbuka Grafik a > 0 Ke atas Mempunyai nilai minimum a < 0 Ke bawah Mempunyai nilai maksimum GRAFIK Grafik fungsi kuadrat adalah sebuah PARABOLA. Untuk melukiskannya harus diperhatikan 1) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-X     y=O ® ax²+ bx + c = 0 (bentuk Persamaan Kuadrat) KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN Diskriminan PK Akar PK Titik Potong Dengan Sumbu x Grafik D > 0 2 akar berlainan 2 titik potong D = 0 akar kembar 1 titik potong (titik singgung) D < 0 tidak ada akar Tidak ada titik potong 2) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-Y x=0 ® y=c ® (0, c) KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN c > 0 c < 0 c = 0 memotong sumbu y di atas memotong sumbu y di bawah melalui titik (0,0) 3. SUMBU SIMETRI (Garis sejajar sumbu-y yang menjadikan parabola simetris). Persamaan sumbu simetri  x = -b/2a Ket. : Dari sumbu simetri ini dapat ditentukan tanda dari b. 4. TITIK PUNCAK Puncak (-b/2a , -D/4a) 5. UNTUK MELENGKAPI GRAFIK, DIAMBIL BEBERAPA NILAI X DAN Y     SECUKUPNYA KOMBINASI TANDA a dan D a>0 a<0 Ket : Untuk D < 0 dan a > 0 Grafik selalu berada di atas sumbu x. (fungsi selalu bernilai positip / DEFINIT POSITIF). Untuk D < 0 dan a < 0 Grafik selalu berada di bawah sumbu x. (fungsi selalu bernilai negatip l DEFINIT NEGATIP). BENTUK UMUM y = f(x) = ax2 + bx + c x variabel bebas; y variabel tak bebas; a,b,c konstanta ; a ¹ 0 NILAI EKSTRIM Bentuk y = ax² + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x+b/2a)² - D/4a Dapat disimpulkan : y ekstrim = -D/4a yang dicapai bila x = -b/2a Dapat disimpulkan : y = a(x - x ekstrim)² + y ekstrim Ket: : Fungsi kuadrat mempunyai nilai ekstrim, maksimum atau minimum          tergantung dari nilai a. Tanda dari a a Parabola Terbuka Grafik a > 0 Ke atas Mempunyai nilai minimum a < 0 Ke bawah Mempunyai nilai maksimum GRAFIK Grafik fungsi kuadrat adalah sebuah PARABOLA. Untuk melukiskannya harus diperhatikan 1) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-X     y=O ® ax²+ bx + c = 0 (bentuk Persamaan Kuadrat) KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN Diskriminan PK Akar PK Titik Potong Dengan Sumbu x Grafik D > 0 2 akar berlainan 2 titik potong D = 0 akar kembar 1 titik potong (titik singgung) D < 0 tidak ada akar Tidak ada titik potong 2) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-Y x=0 ® y=c ® (0, c) KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN c > 0 c < 0 c = 0 memotong sumbu y di atas memotong sumbu y di bawah melalui titik (0,0) 3. SUMBU SIMETRI (Garis sejajar sumbu-y yang menjadikan parabola simetris). Persamaan sumbu simetri  x = -b/2a Ket. : Dari sumbu simetri ini dapat ditentukan tanda dari b. 4. TITIK PUNCAK Puncak (-b/2a , -D/4a) 5. UNTUK MELENGKAPI GRAFIK, DIAMBIL BEBERAPA NILAI X DAN Y     SECUKUPNYA KOMBINASI TANDA a dan D a>0 a<0 Ket : Untuk D < 0 dan a > 0 Grafik selalu berada di atas sumbu x. (fungsi selalu bernilai positip / DEFINIT POSITIF). Untuk D < 0 dan a < 0 Grafik selalu berada di bawah sumbu x. (fungsi selalu bernilai negatip l DEFINIT NEGATIP). Menentukan Fungsi Kuadrat Pada umumnya grafik suatu fungsi kuadrat y = ax² + bx + c akan tertentu jika diketahui 3 titik yang dilaluinya. Hal khusus jika melalui titik puncak, cukup diketahui melalui 2 titik saja. diketahui melalui misalkan fungsi 1)Tiga titik sembarang (x1,y1) ; (x2,y2) dan (x3,y3) y = ax² + bx + c (a = ? ; b=? ; c = ?) 2) Titik potong dengan sumbu x (x1,0) ; (x2,0) serta sebuah titik sembarang (x3,y3) y = a (x - x1) (x - X2) ( a = ? ) 3) Titik Puncak (xp, yp) dan sebuah titik sembarang (X2,Y2) Y = a (x - xp)² + yp ( a = ? ) Ket: Dengan mensubstitusi titik-titik yang dilalui dan menyelesaikan persamaannya maka nilai a, b dan c yang dibutuhkan dapat dicari, sehingga fungsi kuadrat yang dimaksud dapat ditentukan.

Read More..